Kapitel 1: Das Integral

Bei der Integralrechnung geht es darum, die Fläche zu berechnen, die der Graph in einem bestimmten Integral mit der x-Achse einschließt.
In der Abbildung 1 sieht man einen Graphen der Funktion f(x) = x². Die rot markierte Fläche ist die zu bestimmende Fläche. Sie geht von 0 bis 1. D.h., in dem Integral [0;1].
Wie man nun diese Fläche bestimmt, wird im Folgenden annähernd mit der Unter- und Obersumme bestimmt.

(Abb.1: f(x) = x²)

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Kapitel 2.1: Untersumme

Mit Hilfe der Untersumme kann man die Fläche des Integrals annähernd bestimmen, man erhält aber nie den exakten Wert. Hierfür zeichnet man viele kleine Rechtecke unterhalb des Graphen ein:

(Abb.2: f(x) = x²)

Hier wurde das Intervall [0;1] in 6 Teilintervalle eingeteilt. Jedes Teilintervall hat die Länge von . Die Höhe von jedem Rechteck kann man bestimmen, sie ist jeweils die Funktion f(x). Berechnet man also alle Einzelflächen und addiert sie zum Schluss, so hat man einen annähernden Flächeninhalt:

Der Flächeninhalt beträgt also bei einer Einteilung von 6 Teilintervallen ca. 0,25. Je mehr Teilintervalle man nun wählt, desto mehr kommt man an den richtigen Flächeninhalt heran.

Allgemein für n-Teilintervalle bei der Untersumme gilt:


Die in der Klammer stehenden Zahlen sind die Summe der Quadratzahlen von 0 bis (n-1). Dafür gibt es folgende Formel:

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Kapitel 2.2: Obersumme

Mit der Obersumme erhält man einen etwas größeren Flächeninhalt, als der tatsächliche. Im Kapitel Normalparabel wird dann ein Mittelwert von Ober- und Untersumme ermittelt:

(Abb.3: f(x) = x²)

Die Obersumme ermittelt man genauso wie die Untersumme, nur mit dem Unterschied, dass es jetzt nicht bei f(x₀) sondern bei f(x₁) beginnt:

Der Flächeninhalt für die Obersumme beträgt also 0,42.

Allgemein für n-Teilintervalle bei der Obersumme gilt:

Die in der Klammer stehenden Zahlen sind die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n. Dafür gibt es folgende Formel:

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Kapitel 2.3: Normalparabel:

Bislang wurde mit der Ober- und Untersumme nur ein annähernder Wert für Fläche berechnet. Nun soll aber der tatsächliche Flächeninhalt bestimmt werden.
Man weiß, dass 0,25 < A > 0,42 sein muss, denn die Obersumme ist zu groß und die Untersumme zu klein.
Um den Flächeninhalt genau bestimmen zu können, muss man die Teilintervalle gegen unendlich streben lassen, d.h., dass die Breite von den Rechtecken gegen 0 streben. Man bildet den Grenzwert der Ober- und Untersumme:

Also ist die gesuchte Fläche A = 1/3 in dem Intervall [0;1].

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Kapitel 2.4: Orientierter Flächeninhalt

Bei dem orientierten Flächeninhalt muss man unterscheiden zwischen positiven und negativen Flächen. Ist die Fläche oberhalb der x-Achse, so ist sie positiv. Ist die Fläche unterhalb der x-Achse, so ist sie negativ:

(Abb.4: f(x) = (x-1)(x²-4))

Wenn man bei diesem Beispiel (s. Abb.4) den orientierten Flächeninhalt berechnen soll, so muss man die Fläche B von der Fläche A abziehen, da A im positiven und B im negativen Bereich liegt:

Orientierte Fläche = (+A) + (-B)

Es müssen nicht immer nur 2 Flächen sein, es können auch 4 oder mehr Flächen vorhanden sein. Beim orientierten Flächeninhalt spielt also das Vorzeichen eine wichtige Rolle.

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Kapitel 2.5: Tatsächlicher Flächeninhalt

Beim tatsächlichen Flächeninhalt spielt das Vorzeichen keinerlei Rolle. Hier rechnet man mit den Beträgen der einzelnen Flächeninhalte (s. Abb.4):

Tatsächliche Fläche = |A| + |B|

Allgemein kann man sagen, dass der orientierte Flächeninhalt immer dann kleiner als der tatsächliche Flächeninhalt ist, wenn es positive und negative Flächen gibt.

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Kapitel 3: Grundintegrale

In den Kapiteln 1 und 2 wurde bislang immer nur die Funktion f(x) = x² und das Integral [0;1] behandelt. Jetzt sollen zum einen mit anderen Funktion gerechnet werden und zum anderen andere Integrale verwendet werden, z.B: f(x) = 3x³ [1;2]

Zuerst soll aber ein anderes Integral benutzt werden: [0;b]
Die Fläche unter der Normalparabel im Integral [0;b] ist:
A = b³/3
Wie in Kapitel 2.3 berechnet wurde, ist die Fläche A = 1/3. Jetzt ist das Integral [0;1] sondern [0;b]. Man ersetzte also einfach für 1 = b ein (b = allg.)
Um es zu beweisen kann man von Kapitel 2.1 - 2.3 für 1 = b einsetzen, so erhält man am Ende, wenn man alles richtig gemacht hat: A = b³/3

Es gibt z.B. folgende Grundintegrale:

[ wobei c = const.]

Mit diesen Grundintegralen kann man man jetzt mehr Integrale berechnen. Beim Integralzeichen steht b immer oben und a immer unten. Ein Rechenbesipiel:

Bestimme den Flächeninhalt:
f(x) = 4x⁴ [2;3]

Im Folgenden Kapitel werden viele Besipiele und Regeln genannt, wie man integriert, auch bei komplizierteren Funktionen.

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Kapitel 4: Regeln beim Integrieren

Intervalladditivität, Summenregeln u.a. sind nur einige Regeln, die im Folgenden ausführlich erklärt werden.

Faktorregel:

Steht also ein konstanter Faktor c in der Funktion, so kann er vor das Integral gezogen werden.

Summenregel:

Eine Summe wird gliedweise integriert.

Intervalladditivität:

Man kann die Integrale zusammenfassen zu einem Integral.

Definitionen:

Sind die Intervallgrenzen vertauscht, so setzt man vor dem Integralzeichen ein negatives Vorzeichen und dreht Intervallgrenzen um.

Sind die Intervallgrenzen gleich, bzw. die Beträge gleich und besitzt die Funktion ungerade Exponenten beim x, so ist die Fläche null, s. Beispiel.

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4.1: Beispielaufgaben

Im Folgenden werden alle bisher benannten Regeln an Beispielen angewendet und einige weiterführende Aufgaben gerechnet:

1. Berechnen Sie den Flächeninhalt :

Lösung:

	/ Intervalladditivität
	/ Summenregel
	/ Faktorregel
	/ Grundintegrale
	/ Ausrechnen
= 670,83	/ Ergebnis

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von dem Graphen der Funktion f(x) und der gerade g(x) eingeschlossen ist:

Lösung:

1. Schnittpunkte berechnen, indem man gleichsetzt: f(x) = g(x)

Der Graph und die Gerade (hier Ursprungsgerade) schneiden sich von der x-Achse aus gesehen im Punkt 0 und 3.

2. Man berechnet die Flächen, die der Graph und die Gerade mit der x-Achse einschließt im Integral [0;3]

Fläche(Graph): 9
Fläche(Gerade): 13,5

Um jetzt die eingeschlossene Fläche von der Gerade und dem Graphen zu erhalten, muss man die Flächen voneiander subtrahieren:
13,5 - 9 = 4,5

Also ist die eingeschlossene Fläche 4,5 groß.

3. Gegeben ist eine Funktion f(x) = -x² + 6x. Bestimmen sie eine Ursprungsgerade so, dass die Fläche über der x-Achse genau um die Hälfte geteilt wird.

2. Man berechnet den zu teilenden Flächeninhalt:

 

3. Schnittpunkte berechnen:

Ein Schnittpunkt ist der Ursprung, da es sich 1. um eine Ursprungsgerade handelt und 2. der Graph durch den Ursprung verläuft.

Schnittpunkte: 0 und 6-k !

4. Berechnung der Gerade:

Hinweis: Um jetzt die Lösung möglichst einfach zu erhalten, wende ich das Substitutionsverfahren an, d.h., ich setze für 6-k = n ein.

Um jetzt das richtige Ergebnis zu bekommen, muss ich wieder für n = 6-k einsetzen:

Die Ursprungsgerade, die den Flächeninhalt genau teilt, lautet: g(x) = 1,24x

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Kapitel 5: Stammfunktion

Ist eine Funktion differenzierbar, so heißt sie Stammfunktion: F'(x) = f(x), d.h., dass die Ableitung der Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) entspricht.

Bildung einer Stammfunktion, wenn f(x) gegeben ist (allgemein):

Für jede integrierbare Funktion f: [a,b] ist eine Integralfunktion F definiert:

Ist F eine Stammfunktion der stetigen Funktion:

Beispiel:

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